私はこの用法をずっと疎かにしていました。別に使う事なんてないと思っていたんです。
①quite a few =少なくない。（少ないとまでは言い切れない程度）→ここが難しい。fewまでは至っていない程度です。
②quite a lot = かなり多くの。（"a lot of / lots of" よりも１つ下のレベル）
日本語の、かなりには二つの意味があります。
①非常にとまではいかないが、程度が普通よりはまさっていること。相当。 「―上手だ」
②非常に
つまり、この記事で扱っている、かなり。の意味は、①です。ここが混乱する一番の要因です。
A lot of people. （たくさんの人々） に、"quite" が追加され、Quite a lot of people. になると、たくさんよりも、もっとたくさんの人々と思ってしまいがちなのですが、それは違います。
（思ったよりたくさん来ていたというようなときにピッタリです。）
①②は、正直、どちらも、 "many / a lot of (lots of)" や、"much" で代替することはできます。ですが、なんでもかんでも、たくさんを意味する、"many" や、"much" で表現していたら、きっと子供英語になってしまう。数や量などの程度をもっと細かく定義できるようにこれらを覚えない手はありません。
どのように使う？
たとえば、私は "Vital English" という飯田橋での英会話イベントがあるのですが、これは１００人くらい集まります。でも、多くの人が集まると言ってしまえば、その多くは曖昧な表現です。なので、あえて、"quite a lot of people get together in that event" と言ってみるのもいいかもしれません。
"a number of people get together in that event" だと、数人しか集まらないイベントですからね…。"several people" "some people" とは少し程度としては似ていますが、やはり１．２．３と数えるような具体的なイメージが入ります。２個・３個というような割とイメージしやすい単語を示しているという点では、 "a couple of" と似ています。
ちなみに、注意してもらいたいのが、"the number of people" としてしまうと、人の数という意味になってしまいます。そこで、"a" をつけて区別しているのです。
こちらのリンクを参照してくてください。英語圏でもこれらの定義を知らない人が多く存在します。
(For your reference)
こちらの内容を翻訳させていただきました。
CalifJim:
There were quite a lot of girls.
There were quite a few girls.
The Oxford Advanced Learner's Dictionary にはこのように書いてある: "Quite a lot = a large number or amount," "Quite a few = a fairly large number or amount."
The Longman Advanced Learner's Dictionary ではどちらも、平均的より上くらいのある程度の数や量と定義。
私は the Oxford Dictionary.と同じ意見です。アメリカ人のネイティブスピーカーとして、私はこれら２つに違いがあると思います。多くのアメリカ人がこの２つを一緒の意味だとは思わないはずです。
この２つは質について話すということでは同じような意味になるけれども…。
やはりここでポイントなのは、文法のＷＥＢサイトでアメリカ人はやはり、オクスフォード英英辞書のようにこれらには違いがあると言っています。でも、これらは非ネイティブの人には使わないようにしましょう！混乱を招きかねないので！ですが、英文を読むときにどれくらいの数・量がいるのか？というのはこの知識で明確にわかるようになります。
つまり、①も②も意味は違うという事です。
"quite a bit"
は、イギリス的な表現で、フォーマル感はない言い方だそうです。